Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?
Có vẻ như mình đã gặp bế tắc rồi. Mọi người có thể dành chút thời gian để giúp đỡ mình không?

Phương pháp giải:

Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước theo cách sau:
- Ban đầu có 2 mảnh bìa.
- Lần thứ nhất, cậu bé tinh nghịch cắt mảnh bìa đầu tiên thành 4 mảnh.
- Lần thứ hai, cậu bé tinh nghịch lấy một trong 4 mảnh trên, cắt tiếp đó thành 4 mảnh nữa.
- Tiếp tục cứ lặp lại quá trình trên cho đến khi số mảnh bìa đạt được là một số chính phương.

Câu trả lời:
Có thể chứng minh rằng cậu bé tinh nghịch không thể đạt được số mảnh bìa là một số chính phương bằng phương pháp này. Bởi vì sau mỗi lần cắt, số mảnh bìa sẽ tăng lên 3. Như vậy, số mảnh bìa sau mỗi lần cắt sẽ luôn là 2 + 3n (với n là số lượt cắt). Và số này không bao giờ là một số chính phương với bất kỳ giá trị nào. Điều này cho thấy rằng cậu bé không thể đạt được mục tiêu của mình.

Có thể. Nếu ta tính tổng số mảnh bìa sau mỗi lần xé như sau: 2, 4, 8, 16, 32,... Ta thấy được rằng số mảnh bìa sau mỗi lần xé sẽ luôn là một lũy thừa của 2, và do đó là một số chính phương.

Không thể. Sau mỗi lần xé, số mảnh bìa sẽ tăng lên 3 mỗi lần, tức là sau lần xé thứ n, số mảnh bìa sẽ là 2 + 3n. Vì vậy, số mảnh bìa không bao giờ là một số chính phương.

Có thể. Sau khi xé hai lần, ta được 4 mảnh bìa. Tính tổng số mảnh bìa sau mỗi lần xé như sau: 2, 4, 8, 16, 32,... Có thể thấy được tổng số mảnh bìa sau mỗi lần xé là một dãy số hồi tụ về một số chính phương.

Phương pháp giải:

Để tìm chữ số cần điền vào dấu * để được số có 5 chữ số chia hết cho 3, ta cần tính tổng các chữ số của số ban đầu (320) và chữ số cần điền vào. Sau đó, ta thêm chữ số cần điền vào cho đến khi tổng các chữ số của số mới tạo ra chia hết cho 3.

Câu trả lời:

Chữ số cần điền vào dấu * là 1. Vì khi ta thêm 1 vào số 320, ta được số 321, và tổng các chữ số là 3 + 2 + 1 = 6, chia hết cho 3. Do đó, số 321 chia hết cho 3.